[책] 미적분의 힘 by 스티븐 스트로가츠

1. 일상생활 수준에서는 연속적인 것처럼 보이지만, 원자나 초끈 수준에서는 연속적인 것이 아니다. 미적분학은 원자와 더 이상 쪼갤 수 없는 그 밖의 실체가 제기하는 불편한 진실을 무시한다. 그런 실체가 존재하지 않아서 그런 것이 아니라, 존재하지 않는 것처럼 취급하는 편이 유용하기 때문에 그런다. 앞으로 보게 되겠지만, 미적분학은 유용한 허구를 좋아하는 경향이 있다. (25쪽)
2. 극한(limit)은 도달할 수 없는 목적지와 같다. 그곳에 점점더 가까이 다가갈 수는 있지만, 절대로 그곳에 이를 수는 없다. (49쪽)
3. 일상생활에서 불연속적인 것과 연속적인 것 사이의 간극은 대개 별 어려움 없이 메워지는데, 적어도 훌륭한 근사로 나타낼 수 있다. 충분히 작은 토막들로 쪼개기만 한다면, 많은 실용적 용도에서 불연속적인 것으로 연속적인 것을 대신할 수 있다. 이상적인 미적분학 세계에서는 유리한 점 이 한 가지 더 있는데, 연속적인 것을 무한히 많은 수의 무한히 작은 토막들로 '정확히 똑같게(근사가 아니라)' 쪼갤 수 있다. 이것은 바로 무한의 원리이다. 극한과 무한의 도움으로 불연속적인 것과 연속적인 것이 하나가 된다. (68쪽)
4. 만약 실수가 실재하지 않는다면, 왜 수학자들은 이 수들을 그토록 좋아할까? 그리고 왜 학교에서는 학생들에게 이 수들을 배우라고 강요할까? 왜냐하면, 미적분학에 이 수들이 필요하기 때문이다. 처음부터 미적분학은 모든 것(시간과 공간, 물질과 에너지, 지금까지 존재했거나 앞으로 존재할 모든 물체)을 연속적인 것으로 간주해야 한다고 완강하게 주장했다. 따라서 모든 것은 실수로 정량화될 수 있고 그렇게 되어야 한다. 이 이상적인 상상의 세계에서 우리는 모든 것을 끝없이 계속 더 잘게 쪼갤 수 있다고 생각한다. 전체 미적분학 이론은 바로 이 가정을 토대로 서 있다. (73쪽)
5. 아르키메데스가 무한히 많은 삼각형 모자이크를 사용해 매끈하게 구부러진 포물선 활꼴을 표현한 것처럼, 오늘날 드림웍스의 애니메이터들은 수만 개의 다각형을 사용해 슈렉의 둥근 배와 귀엽고 작은 트럼펫 모양의 귀를 만들어 낸다. (112쪽)
6. 갈릴레이는 "한 진자의 진동 시간을 다른 진자의 두 배로 만들고 싶다면, 줄의 길이를 네 배로 늘리면 된다."라고 설명했다. 그리고 비율의 언어를 사용해 일반적인 법칙을 기술했다. 그는 "길이가 서로 다른 실에 매달린 물체들의 경우, 서로간의 상대적인 길이는 주기의 제곱에 비례한다."라고 썼다. (145쪽)
7. 적분은 이미 기원전 250년 무렵에 고대 그리스에서 아르키메데스의 연구에 나타났던 반면, 도함수는 17세기 이전에는 어느 누구의 머릿속에도 떠오르지 않았다. 미분학은 왜 적분학보다 훨씬 늦게 발전했을까? 그것은 '대수학'이 성장하면서 거기서 미분학이 갈라져 나왔는데, 대수학이 자라고 이주하고 돌연변이를 일으켜 변형되기까지 수백 년이 걸렸기 때문이다. (170쪽)
8. 일단 1이 더 이상 쪼갤 수 없는 신성불가침의 존재가 아닌 것으로 드러나자, 모든 양(정수, 분수, 무리수)이 동일한 기반 위에서 하나의 큰 수 가족으로 통합되었다. 이것은 미적분학에 시간, 공간, 운동, 변화를 기술하는 데 필요한, 무한히 정확한 실수를 제공했다. (174쪽)
9. 대수학은 기하학에 체계를 제공했다. 그러자 기하학은 천재성 대신 끈기를 요구했다. 그리고 직관력이 필요한 어려운 질문을 단순한(비록 많은 노력이 필요하긴 하지만) 계산으로 바꾸어놓았다. (중략) 기하학은 대수학에 의미를 부여했다. 방정식은 더 이상 무의미한 것이 아니었다. 이제 방정식은 구불구불한 기하학 형태가 구체화 된 것이었다. (182쪽)
10. 접선의 조건은 최대값이나 최소값의 조건과 비슷하다. 직선과 곡선을 교차하게 한 뒤, 직선을 위나 아래로 계속 움직이다가 두 교점이 하나로 합쳐질 때 그 직선은 접선이 된다. (212쪽)
11. 우리는 xy 평면을 한 변수가 다른 변수에 어떻게 종속되며, 모든 것이 일정할 때 x 와 y 사이에 어떤 관계가 성립하는지 시각화하는 데 사용한다. 그런 관계는 한 변수의 함수로 모형화 할 수 있다. 기호로는 y=f(x) 라고 쓴다. 여기서 f는 나머지 모든 것이 일정한 값으로 고정돼 있는 상황에서 변수 y('종속' 변수라고 부른다)가 변수 x('독립' 변수라고 부른다)에 어떻게 종속되는지를 나타내는 함수(function)를 말한다. (221쪽)
12. 곡선의 변하는 기울기를 어떻게 알아낼 수 있을까? 그 기울기로부터 곡선을 어떻게 재구성할 수 있을까? 그리고 곡선 아래에서 변하는 면적은 어떻게 알 수 있을까? (252쪽)
13. 한 변수가 완전한 사인파 패턴을 따를 때 그 변화율 역시 1/4 사이클이 앞선 완전한 사인파가 된다. 이 자기 재생 능력은 사인파에서만 볼 수 있는 독특한 성질이다. (267쪽)
14. 모든 과학 분야에서와 마찬가지로 수학적 모형을 만드는 과정에서는 무엇을 강조하고 무엇을 무시해야 할 지 늘 선택해야 한다. 추상의 예술은 무엇이 필수적인 것이고 무엇이 사소한 것인지, 무엇이 신호이고 무엇이 잡음인지, 무엇이 추세이고 무엇이 요동인지 아는 데 있다. 이것이 예술인 이유는 그런 선택에는 항상 위험 요소가 포함되기 때문이다. 그것은 희망 섞인 생각과 지적 부정직성에 가깝다. 갈릴레이와 케플러 같은 위대한 과학자들은 어쨌든 그 위험한 벼량을 건너가는 데 성공했다. (280쪽)
15. 뉴턴은 뛰어난 통찰력으로 설사 속력이 일정하지 않더라도, 면적과 거리 사이의 이 등식 관계가 '항상' 성립한다는 사실을 알아냈다. 어떤 물체가 아무리 불규칙하게 움직인다 하더라도, 시간 t동안 그 속력 곡선 아래에 누적된 면적은 항상 그 시간 동안 그 물체가 여행한 총 거리와 똑같다. 이것이 기본 정리의 한 가지 버전이다. 이것은 너무나도 쉬워서 도저히 참이라고 믿기 힘들지만, 정말로 참이다. (290쪽)
16. 아르키메데스의 관점에서 볼 때 면적은 무한히 작은 직사각형 조각들이 무한히 많이 모인 합이다. 그렇기 때문에 면적은 '적분'이다. 모든 조각들을 다시 합쳐놓은 전체로, 무한히 작은 변화들이 축적된 것이다. 그리고 도함수가 기울기보다 더 중요한 것처럼 적분은 면적보다 더 중요하다. 면적은 기하학에 중요한 것인 방면, 적분은 '모든 것'에 중요하다. (303쪽)
17. 겨우 22세의 나이에 뉴턴은 성배를 향해 나아가는 길을 발견했다. 그는 곡선을 멱급수로 바꿈으로써 그 면적을 체계적으로 알아낼 수 있었다. 뉴턴이 이미 표로 만은 함수 쌍들을 참고한다면, 이 역방향 문제는 멱급수로 아주 쉽게 풀 수 있었다. 따라서 역함수들의 급수로 나타낼 수만 있다면, 어떤 곡선이건 그 면적을 구하는 것은 식은 죽 먹기였다. (318쪽)
18. '무한소(infinitesimal)'는 모호한 존재이다. 무한소는 상상할 수 있는 것 중에서 0이 아닌 가장 작은 수이다. 더 간단하게 말하면, 무한소는 모든 것보다 작으면서 무無보다는 크다. (337쪽)
19. 라이프니츠 버전의 미적분학의 기본 정리는 다음과 같다. "도형들의 면적을 찾는 문제는 다음과 같이 정리할 수 있다: 급수가 주어졌을 때 그 합을 구하는 문제, 혹은 급수가 주어졌을 때 그 차가 주어진 급수의 항들과 일치하는 또 다른 급수를 찾는 문제." 유율과 팽창하는 면적이 뉴턴을 비밀의 샘으로 이끈 것처럼, 차와 망원합은 라이프니츠를 미분과 적분으로 이끌었다. (359쪽)
20. 뉴턴은 직감적으로 중력이 달까지 그리고 어쩌면 그 너머까지 미친다고 생각했다. 그리고 달이 지구 주위의 궤도를 도는 것은 지구를 향해 계속 낙하는 운동이 낳은 결과라고 보았다. 하지만 땅으로 떨어지는 사과와 달리 달이 지구로 떨어지지 않는 이유는, 달이 지구를 향해 떨어지는 동시에 원래 가지고 있던 운동의 관성으로 앞쪽으로 계속 움직이기 때문이다. (380쪽)
21. 문제를 단순하게 하기 위해 뉴턴은 나머지 모든 행성의 중력 효과를 깡그리 무시했다. 게다가 중력이 즉각적으로 작용한다고 가정했다. 뉴턴은 이 두가지 근사가 옳지 않을 가능성이 있음을 알았지만, 그렇게 가정하지 않으면 전혀 앞으로 나아갈 수 없었다. (386쪽)
22. 파동 방정식과 열 방정식, 그 밖의 편미분방정식을 푸는데 사인파가 아주 적합한 이유는 무엇일까? 사인파의 장점은 도함수와 손발이 아주 잘 맞는다는 데 있다. 특히 사인파의 도함수는 단지 위상이 1/4사이클만 차이는  사인파이다. 이것은 아주 놀라운 성질이다. 다른 종류의 파동들은 이런 성질이 없다. (418쪽)
23. 미적분학은 뉴턴과 라이프니츠와 그 후계자들이 한 연구만이 다가 아니다. 그보다 훨씬 앞서서 시작되었고, 지금도 계속 발전하고 있다. 나는 미적분학은 그 신조로 정의된다고 생각한다. 그 신조란, 연속적인 어떤 것과 관련해 어려운 문제가 있으면, 그것을 무한히 많은 부분들로 쪼개 그 각각을 풀고, 그 답들을 다시 합쳐 원래의 전체를 만듦으로써 문제를 푸는 것이다. 나는 이 신조를 무한의 원리라고 불렀다. (440쪽)

 

< 미적분의 힘 > 스티븐 스트로가츠 지음, 이충호 옮김. 해나무 (2021)